Cálculo IV

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Matemáticas

CÁLCULO DE VARIACIONES. Comprende un conjunto de problemas matemáticos, en los que se trata de obtener una o varias funciones incógnitas que satisfagan la condición de hacer máxima o mínima cierta integral ligada al problema, en el que su expresión figura como dato y, por tanto, es conocida. P. ej., en el problema de Euler se da una función F de 2n+ 1 variables, y se trata de obtener las funciones

x1(1), ..., x?(1), que hacen que la integral

f t1F(t, x1(t), ..., x?(t), x1(t), ..., x,, (t)) dt

tome un valor máximo o mínimo relativo, es decir, respectivamente mayor o menor que los que toma para otras funciones variadas

x1(1)+711(1), ..., x?(t)+n.(t) eligiendo 711, ..., 7ln suficientemente pequeñas.

CÁLCULO V VI’697

En este problema se demuestra que bajo hipótesis convenientes sobre la función F, la solución ha de serlo también del sistema de ecuaciones diferenciales (v. ECUACIONES)

d aF _ aF dt ilx¡’ axz

que constituyen las llamadas ecuaciones de Euler. Estas condiciones, cuando los extremos

(to, XI(to), ..., xn(to)),(tv x](t]), ...~ xn(ti))

son puntos fijos, determinan ya la solución en la mayoría de los problemas que plantean las aplicaciones. Si los extremos no son fijos, para determinar la solución se investigan y obtienen otras condiciones adicionales: p. ej., en el caso de que los extremos sólo puedan variar en sendas superficies ndimensionales determinadas por el problema, se obtienen las llamadas condiciones de transversalidad. Estas ecuaciones, al igual que las de Euler, se obtienen al considerar la función de una variable siguiente:

fi(a)

I(a) =t, x]+aY]I, ..., xn+aa7tt, x]’+IXYh, ...,

fo(a) ^t,xn +an,,’) dt Esta función, desarrollada por la fórmula de Taylor finita hasta el orden posible (v. TAYLOR, TEOREMA DE), se expresa en la.forma

a2 IXn] I(a)=I(0)+aT(0)+2] I"(0)+...+(n1)]I(tt])(0)+T,t(a) y a los sucesivos sumandos

a2

al= "J1(0),821=]2I"(0), ...

se les llama variaciones, respectivamente primera, segunda, etc., de la integral, de donde deriva el nombre atribuido a este capítulo de la Matemática, que puede considerarse el más antiguo del Análisis funcional (v. ANÁLISIS MATEMÁTICO II).

A la función I(a) se le pueden aplicar las técnicas usuales del c. diferencial, con lo que una condición necesaria de máximo o mínimo será la 8I=0, o sea, que se anule la primera variación, de la que derivan las ecuaciones de Euler y las condiciones de transversalidad; otras condiciones necesarias o suficientes se obtendrán a partir del desarrollo de Taylor, aplicando a este caso las condiciones del c.’diferencial, así

57=0, 5270

es condición necesaria de máximo; SI=0, 827_>0, lo es de mínimo;

57=0,821 < 0

es condición suficiente de máximo; S7= 0,821 > 0,

lo es de mínimo; de esta manera se obtienen condiciones

de muy diversos tipos, algunas de las cuales se designan con el nombre de su descubridor: Legendre, Jacobi, Weierstrass, etc.

Son ejemplos típicos de problemas que se resuelven por los métodos anteriores: 1°, el de la braquistócrona, curva que une dos puntos dados de manera que la caída de un grave a lo largo de la misma traslada el cuerpo en un tiempo mínimo, dando como solución la curva llamada cicloide; 2°, superficie de revolución entre dos paralelos dados que tenga área mínima; 3°, el problema de las geodésicas de un espacio de Riemann (p. ej., una superficie ordinaria), que busca la curva que una dos puntos dados y tenga longitud mínima; en la teoría de la Relatividad (v.), este concepto de geodésica permite definir la trayectoria de un suceso elemental; es también concepto básico en Geometría diferencial; 4°, el principio de Fermat en la óptica geométrica resume las leyes de la misma, afirmando que el camino óptico corresponde al de tiempo mínimo; SO, la Mecánica teórica puede fundamentarse en el principio de la mínima acción, por el que las ecuaciones del movimiento de un sistema material coinciden con las que dan un mínimo para la integral de acción; la teoría de HamiltonJacobi establece un paralelismo entre el c. v. y la Mecánica teórica. También el c. v. estudia problemas análogos para el caso de más variables independientes; así, en el caso de dos variables, las ecuaciones de Euler tienen como equivalente el principio de Dirichlet. Son problemas típicos: la superficie de área mínima subtendida por una curva cerrada; problemas de optimización de precio o productividad.

J. AUGÉ FARRERAS.

BIBL.: G. A. BL]ss, Lectures on the Calculus of Variations, Chicago 1961; L. S. PONTRYAGIN y orRos, The mathematical theory of optimal processes, Nueva York 1962.