Cálculo V

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Matemáticas

CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 1. La teoría clásica de probabilidades. El término probabilidad tiene su origen en la voz latina probabilitas, en el sentido de "verosimilitud o fundada apariencia de verdad", de acuerdo con la primera acepción del Diccionario de la R. A. Española; pero ni este significado, ni el que corresponde a la segunda acepción, "calidad de probable", entendiendo por probable "aquello que hay buenas razones para creer que se verificará o sucederá", constituyen una definición acertada del concepto de probabilidad, cualquiera que sea la teoría de probabilidades que se acepte entre las que se han elaborada con más o menos rigor científico.

La idea de probabilidad (v.) fue utilizada ya en la antigua filosofía griega, por los platónicos de la Nueva Academia. Matemáticamente empezó a usarse en el s. xvii cuando se intentaron resolver ciertos problemas relacionados con los juegos de azar. Fue Laplace quien publicó en 1812 la primera Teoría Analítica de las Probabilidades (Théorle analytique des probabilités). Con esta obra del matemático francés se origina la teoría clásica o de la probabilidad a priori, aceptándose el principio de que "la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de casos favorables a la ocurrencia del suceso y el número total de casos posibles". P. ej., de acuerdo con esta definición laplaciana, la probabilidad de sumar siete puntos al arrojar simultáneamente dos dados equilibrados es

6 1 36 6’ ya que el número de casos posibles del suceso "sumar

1CÁLCULO VI

siete" es el de pares ordenados

(1, 6),(2, 5),(3, 4),(4, 3),(5, 2)y(6, l),

cuyos elementos suman siempre siete y formados de manera que el primer elemento sea el punto que aparece en uno de los dados el dado A, p. ej., y el segundo elemento el del otro dado, que llamaremos B.. El número total de casos posibles es 36, ya que éste es el número de pares ordenados

(1, 1), (1, 2), ..., (6, 5), (6,6)

con cada uno de los seis puntos del dado A asociado a cada uno de los seis puntos del dado B.

Esta teoría clásica hubo de ser justamente abandonada, ya que fuera de los juegos de azar era difícil encontrar sucesos igualmente posibles y, además, la teoría no establecía criterios para decidir si dos casos eran o no igualmente posibles. Por otra parte, hablar de sucesos "igualmente posibles" es lo mismo que hablar de sucesos "igualmente probables", y el principio de Laplace entraña una petición de principio al incluir en la definición como una noción conocida el mismo objeto que se trata de definir. Sin embargo, y como ocurre, en general, en otras ramas de la ciencia, todas las aportaciones de la teoría clásica de la probabilidad se han aprovechado al elaborar otras teorías probabilísticas, adecuando convenientemente aquellos conocimientos a las nuevas metodologías científicas; así, p. ej., el esquema de Bernouilli, la ley de los errores de Gauss o las ecuaciones de regresión no han sufrido serios deterioros al crearse los modelos de probabilidad denominados hoy distribución binomial, distribución normal y modelos lineales de una sola ecuación.

2. Otras teorías de probabilidades. Con el descubrimiento de las geometrías no euclídeas, que permitieron construir diversas Geometrías científicamente correctas, aunque estuviera fundamentada cada una de ellas en unas verdades básicas (axiomas o postulados) sustancialmente diferentes e incluso llegando a resultados distintos, surgieron las teorías matemáticas formales y también se idearon distintas axiomáticas que originaron otras tantas teorías de la probabilidad. Entre todas ellas destaca la formulación de Richard von Mises que basa su idea de probabilidad en el "valor límite de la frecuencia relativa con la que se presenta un suceso en una sucesión indefinidamente prolongada de observaciones. Este valor límite no viene afectado por cualesquiera que sean las selecciones localizadas posibles de la sucesión".

La sugestiva idea de von Mises encontró críticas muy severas al considerar su concepto de "límite probabilístico" no coincidente con el concepto de límite de Análisis matemático, y así Wald encontró límites de valores 1 y 0 para conocer la probabilidad de "cara" al arrojar una moneda, tras aceptar determinadas selecciones, y Cramér refutó la idea fundamental de von Mises al considerar las distintas probabilidades de muerte en los colectivos parciales de profesiones, edades y sexos, p. ej., dentro de una misma población humana. Esta concepción ha constituido la esencia de todas las teorías frecuenciales de la probabilidad, aunque sólo tuviera en cuenta aquella idea de límite como una base empírica para aceptar como un axioma la existencia de la probabilidad de un suceso aleatorio, probabilidad que viene expresada por un número asociado a la ocurrencia del suceso. Los autores de estas teorías apoyadas en la estabilidad de la frecuencia relativa son bastante coincidentes en los resultados conseguidos y difieren, principalmente, en la presentación de los axiomas fundamentales, destacando entre todas ellas la debida a Kolmogorov y recogida en su publicación de 1933 titulada Grundbegrifle der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Principios fundamentales del Cálculo de probabilidades). En 1937 y 1938 aparecieron otras axiomáticas de Doob, Neyman y Feller de naturaleza frecuencial o de la probabilidad a posteriori y quizá la más conocida sea la que presenta Harald Cram6r en Mathematical Methods of Statistics, el manual que ha sido más familiar a los estudiosos de la Estadística de los años cincuenta; este libro fue publicado por la Univ. de Princeton en 1946 y traducido al castellano por el estadístico Enrique Cansado en 1953, con el título Métodos matemltticos de Estadística.

Aunque en lo sucesivo nos referiremos siempre a la probabilidad a posteriori o frecuencial, debe destacarse otra línea de este conocimiento científico que incluye todas las teorías personalistas o subjetivistas de la probabilidad. Su iniciación puede situarse en A Treatise on. Probability (Tratado de la probabilidad) del gran economista J. M. Keynes publicado en 1921, y la base de su teoría se encuentra en los "grados de creencia razonable"; como los hechos económicos no pueden, en generál, repetirse un número muy grande de veces, en las mismas condiciones iniciales, no es correcto decir dentro de las teorías frecuenciales que la probabilidad de que la renta por habitante alcance en España los 3.000 dólares en el año 2000 es de 0,95, como tampoco sería correcto afirmar que la probabilidad de que el hombre viaje al planeta Saturno dentro del s. xx está comprendida entre 0,05 y 0,10.

Las dificultades de utilizar o de resolver problemas . prácticos a partir de las teorías subjetivistas o personalistas de la probabilidad han orientado últimamente tales investigaciones hacia el empleo de las técnicas bayesianas, inspiradas en un famoso y clásico teorema de Bayes (v.) que relaciona las probabilidades a posteriori con las probabilidades a priori y la verosimilitud, si el teorema de Bayes se aplica a situaciones en las que no exista información sobre las probabilidades a priori debe aceptarse como un postulado o axioma la igualdad entre dichas probabilidades, por cuya razón tales probabilidades a priori juegan un papel central en el enfoque bayesiano del conocimiento probabilístico.

3. Elementos fundamentales del cálculo de probabilidades. Las teorías más divulgadas sobre la probabilidad parten de axiomáticas inspiradas en una base empírica denominada regularidad estadística. Si se realiza un número indefinido de veces un experimento aleatorio, es decir, un experimento que efectuado en las mismas condiciones presenta sus resultados de una manera irregular (que en cada realización no es posible predecir el resultado individual), al cabo de muchas realizaciones del experimento, la frecuencia o número de veces que ocurre un suceso, dividido por el número de veces que se realiza el experimento presenta una regularidad "machacona".

Al tirar a "cara" y "cruz" una moneda (experimento aleatorio) un número muy grande de veces, no se puede predecir en cada tirada si va a ocurrir el suceso "cara" o el suceso "cruz", pero, si la moneda está fabricada correctamente, podemos asegurar que al tirarla 1.000 veces, 1.000.000 de veces, etc. el número de caras obtenido dividido por 1.000, 1.000.000, etc., se parecerá, cada vez más, al número 0,5. Con esta convicción se tiene el apoyo suficiente para elaborar una axiomática de la probabilidad cuya contrapartida empírica sea aquella frecuencia relativa y cuyas propiedades esenciales son del tipo siguiente:

a) a todo suceso que resulte de la realización de un experimento aleatorio le corresponde una determinada probabilidad,

b) la probabilidad de un suceso es un número mayor o igual a cero y menor o igual a la unidad;

c) la probabilidad de un suceso imposible es igual a cero;

d) la probabilidad de que ocurra un suceso A o un suceso B es igual a la probabilidad de que ocurra el suceso A más la probabilidad de que ocurra el suceso B, menos la probabilidad de que ocurran simultáneamente los sucesos A y B (fig. l). Si los sucesos A y B se excluyen mutuamente, el último término es cero y la proba

bilidad de A o B es igual a la suma de ambas probabilidades

P(A+B)=P(A) h P(B) P(AB)

0

P(A f B) =P(A) +P(B),

si

P(AB)=a;

e) la probabilidad de que ocurra simultáneamente un suceso A y un suceso B es igual a la probabilidad de que ocurra uno de ellos multiplicada por la probabilidad de que ocurra el otro suceso condicionada al hecho de que haya ocurrido el primer suceso. P. ej., la probabilidad de que una persona sea varón y tenga cuarenta años es igual a probabilidad de "varón" por la probabilidad de tener cuarenta años dentro del conjunto de los varones (probabilidad de tener cuarenta años condicionada a ser varón):

P(AB) =P(A)P(B/A) Si los sucesos A y B son independientes, P(B/A)=P(B)

y, entonces,

P(AB)=P(A) P(B)

Así, en el caso de que A signifique suceso "varón" y B corresponda a "nacido en luna llena", debe ocurrir que la probabilidad de nacer en luna llena es la misma si se calcula entre los que son varones P(B/A) como de una manera general P(B). Esta última propiedad es la de la probabilidad conjunta de dos sucesos independientes. La presentación de esta axiomática toma formas muy variadas y, en general, se realiza empleando recursos de funciones de conjunto, teoría de la medida e integrales de StieljesLebesgue, y actualmente mediante conceptos y notaciones de la Matemática moderna. Así, en el libro de J. Scheerer Probability on Discrete Sample Spaces (Probabilidad en espacios muestrales discretos), Scranton (Penn.) 1969, se define la probabilidad (p. 69) en los siguientes términos:

Se da un espacio muestral IZ y su conjunto de subconjuntos An. Una función de conjunto P definida sobre An se denomina una probabilidad si, y solamente si, para todo A E An

1)P(A).>, 0;

2)si Ak 1 Ak E An, k G I+

es un conjunto finito o numerable de conjuntos mutuamente disjuntos,

P(IkAk)=4P(Ak); 3) P(t)=1.

P(A) se lee "la probabilidad del suceso A", o, más simplemente, "la probabilidad de A". La segunda condición de la función de conjunto P puede expresarse diciendo que, si las Ak son conjuntos mutuamente disjuntos, la probabilidad de su suma es la suma de sus probabilidades.

4. Modelos probabdísticos. El método empleado por el c. de p. para desarrollar la teoría basada en una axiomática frecuencial cualquiera es el de construir modelos teóricos que presentan el comportamiento y propiedades de una variable aleatoria o estocástica, que puede ser de tipo discreto o continuo y unidimensional o multidimensional.

Un modelo muy divulgado en todos los manuales es el conocido con el nombre de distribución binomial. Su modalidad más simple se inspira en el experimento aleatorio originado al arrojar una moneda a "cara" y "cruz", que puede generalizarse a otros casos muy simples: nacimiento de una persona (varón o mujer), calificación como "buena" o "mala" de una pieza fabricada, etc. Al arrojar la moneda, la variable aleatoria e solamente puede tomar el valor 1 (si sale "cara", p. ej.), o el valor 0 (si sale "cruz") y al no poder tomar 1 otros valores intermedios se trata de una variable de tipo discreto. Su carácter aleatorio se origina por existir una probabilidad P(1)=p, en el caso de que e=1, y una probabilidad P(0)=q cuando e=0, de manera que p+q=1. La aplicación del conjunto (1,0) en el conjunto (p, q) recibe el nombre de función de cuantía y a partir de ella se determinan sus principales características, cuya denominación y expresión es la siguiente:

Esperanza matemática:

E[e]=1p+0 ? q=p

Varianza:

DI[e] =E IE(e) 2= E(ep)2= (I p)Zp+ +(0p)2q=gIp+p2q=pH(q+p)=pq Función generatriz de momentos: G(9)=E(ee8)=e01p+e004=ped+g Función característica: rP(t)=E(eu$)=peft.l+geuo=peit+q

Las características de la función de cuantía tienen como imagen empírica las correspondientes medidas de posición (media aritmética, p. ej.), y de dispersión de la Estadística descriptiva en el caso de la esperanza matemática y de la varianza y las dos funciones consideradas generan los momentos de la variable aleatoria, los cuales juegan un papel muy importante en el conocimiento y utilización del correspondiente modelo. Pero la distribución binomial corresponde a un modelo más general en el que la variable aleatoria e puede tomar los valores 0, 1, 2, ..., n (números naturales) con probabilidades respectivas de que ocurra cada uno de estos valores

Po, Pl, P2, ..., Pn,

tales que

Po+Pl+P2+...+Pn=1

Un ejemplo de esta distribución se tiene al arrojar, simultáneamente, n monedas a "cara" y "cruz", en lugar de una sola como en el caso anterior, teniendo todas ellas las mismas probabilidades p y q de que salga "cara" o "cruz", si se arrojasen independientemente.

El término "binomial" se debe a que las probabilidades px (x=0,1,2, ..., n) son los términos que resultan al desarrollar el binomio de Newton

(q+P)n=1n=1,

de manera que

Px= (n) qnxpx. x

La función de cuantía es la que establece la correspondencia entre el conjunto ordenado de los números (0,1,2,?_n) y el de probabilidades

(P0, Pl, P2, ..., Pn),

cuyas características son ahora: Etel=np, D2(ef=npq G(B)=(Pe0+q)nytp(t)= (Peit+q)n.

El modelo binomial tiene muchas aplicaciones, tanto desde un punto de vista teórico y dentro del propio e. de p., corno por su utilización en la resolución de problemas estadísticos (construcción de gráficos para el control de la calidad, p. ej.). El modelo de mayor interés científico y práctico es el conocido como distribución

normal, inspirado en la célebre ley de los errores ideada por Gauss, definida por una variable aleatoria e, de tipo continuo, tal que

"

queP(e

,,/2r corresponde al concepto de función de distribución normal de parámetros 0 y 1 (0 es la esperanza matemática y 1 la desviación típica o raíz cuadrada de la varianza) y representa la probabilidad de que la variable e tome un valor menor o igual a x, representada gráficamente por la parte rayada de la fig. 2.

La curva de dicha figura es la representación gráfica de la función de densidad normal, dada por

1

y= ex2/2, .J2~r

que toma la forma

1

e(xa)x/M

Q 2

si

E(g)=a y D2L~l=v2.

Muchos conjuntos de observaciones de la realidad siguen este modelo de la distribución normal, de acuerdo con los teoremas centrales del límite, y con dicha distribución se relacionan las más empleadas en el c. de p.: x2 de Pearson, para estudiar la bondad de un ajuste; t de Student, para resolver problemas de muestras pequeñas; y la z de Fisher empleada en el análisis de la varianza. Las distribuciones multidimensionales estudian el comportamiento conjunto de más de una variable aleatoria y constituyen el fundamento teórico de la teoría de la regresión, de tanta importancia en el conocimiento de los modelos econométricos y de los modelos multiecuacionales, en general.

5. Aplicaciones del cálculo de probabilidades. Aunque muchos problemas científicos y técnicos pueden resolverse mediante el conocimiento de los modelos o distribuciones de probabilidad, la importancia de esta ciencia reside, principalmente, en que constituye el fundamento teórico de la Estadística matemática o ciencia de la inferencia estadística, cuyas aplicaciones se extienden a cualquier actividad científica que utilice para su elaboración el método inductivo o necesite contrastar empíricamente sus postulados o sus resultados teóricos. V. t.: ESTADíSTICA I;PROBABILIDAD Y PROBABILISMO.

A. ALCAIDE INCHAUSTI.

BIBL.: H. CRAMÉR, Elementos de la Teoría de Probabilidades, Madrid 1958 (introducción de carácter elemental que puede ampliarse con la obra del mismo autor, Métodos matemáticos de Estadística, Madrid 1953); W. FELLER, Ari Introduction to Probability Theory and its Applications, Nueva York 1966 (obra muy rigurosa y de alto nivel científico); L. 1. SAVAGE, The Foundations of Statistics, Nueva York 1954 (tratado que defiende por primera vez las teorías personalistas de la probabilidad); I. S. MARITZ, Empirical Bayes Methods, Londres 1970 (conjunta los métodos bayesianos que se han desarrollado hasta la fecha de su publicación); M. S. BARTLETT, An Introduction to Stochastic Processes, Cambridge 1955 (uno de los primeros tratados que se escribieron sobre procesos estocásticos, de un permanente interés didáctico).