Cálculo III

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Matemáticas

CÁLCULO INTEGRAL. Es la parte del Análisis matemático dedicada al estudio de las integrales. En el c. i. se consideran las propiedades globales de las funciones que tengan carácter métrico. Fijado un conjunto contenido en el campo de definición de una función, las propiedades globales describen el comportamiento de la función en dicho conjunto, mientras que las propiedades locales lo hacen en el entorno de un punto. (v. i). En la representación gráfica de las funciones por medio de curvas, superficies, hipersuperficies, etc., el c. i. permite definir de manera precisa las áreas planas, longitudes de curvas, áreas de superficies, volúmenes limitados por superficies, etc., y efectuar su cálculo. Otros conceptos de tipo métrico son los momentos de distintos órdenes que se presentan en Mecánica y en Estadística. El instrumento fundamental en este c. es el de integral, que puede tomar distintos aspectos según sea el campo matemático a que se ha de aplicar.

La integral. El concepto de integral tiene su origen en el problema del cálculo de áreas (v. iii). Sea f (x) una función real de variable real, definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se supone f(x) acotada, es decir, para todo x del intervalo es 1f(x)J menor que un número real fijo K. Se divide el intervalo [a, b] en n partes determinadas por a=xo < xl < ... < xn=b, obteniéndose una partición A. Se designan por E y e, el extremo superior de la función en [a, b] (es decir, la menor de las cotas superiores), y el extremo inferior en [a, b] (es decir, la mayor de las cotas inferiores), respectivamente. Análogamente, E¡ y e¡ son los extremos superior e inferior de f(x) en el intervalo [xi_1,xt]. Se denominan sumas superior e inferior correspondientes a la función f (x) y a la participación A indicada del intervalo [a, b], las siguientes:

S=E1(xlxo)+E2(x2x,)+... +E?(xnxn_1), s=el (xlxo)+e2 (x2xl)+... +e,n (xnxn_i), respectivamente. De la definición resulta

" E(ba),>S,>s,>e(ba).

Cuando el número n de puntos de división crece al agregar otros puntos, las sumas superiores no aumentan y las inferiores no disminuyen. Se consideran todas las posibles particiones finitas á del intervalo [a, b], y los dos conjuntos de sumas superiores e inferiores, que se, designan por S(A) y s(A), respectivamente. El extremo inferior del conjunto S(0), se denomina integral superior de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se designa por

Y= f bf(x) dx. a

Análogamente, el extremo superior del conjunto s(0) se denomina integral inferior de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se designa por

b

7= f f(x) dx. a

Siempre es ISi, y cuando se verifica I=i, se dice que la función f (x) es integrable (según Riemann) en el intervalo [a, b] . En este caso, tal valor común se deno

mina simplemente integral (o integral definida) de la función f(x) entre a y b, y se designa por

f ¡’ b

Jf(x) dx. a

No todas las funciones son integrables; lo son, las continuas, las continuas a trozos y las monótonas, entre las más sencillas. Condición necesaria y suficiente para que una función f (x) sea integrable en el intervalo [a, b] , es que para cada número positivo e, exista una partición 0, tal que la diferencia entre las sumas superior e inferior correspondientes a la partición A, sea menor que e, lo que equivale a

(Elel) (xixo)+(E2e2) (x2xl)+... +(E.en)(xnxn_1) < e. Otra condición necesaria y suficiente que caracteriza las funciones integrables es que la medida (v.) del conjunto de puntos de discontinuidad de la función sea nula (Le’besgue). La suma, diferencia, producto, cociente y valor absoluto de funciones integrables son funciones integrables; en el caso del cociente, el divisor se ha de conservar en valor absoluto mayor que un número positivo.

La integral como funcional lineal. Como la suma de funciones integrables es integrable, así como el producto por números reales, resulta que el conjunto de las funciones integrables en un intervalo [a, b] constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales. Por otra parte, la propiedad

.f bbb f(c1fl(x)+c2f2(x)) dx=c1 f f1(x) dx+c2 f f2(x) dx,

aaa

expresa, que en el espacio vectorial de las funciones integrables, a la integral de una combinación lineal de funciones, le corresponde la combinación lineal de las integrales. Fijado el intervalo [a, b], la integral se puede considerar como una aplicación del espacio de las funciones integrables en el conjunto de los números reales, es decir, un funcional, y la propiedad anterior indica que tal funcional es lineal (v. ÁLGEBRA).

La integral como función aditiva de intervalo. Considerando orientados los intervalos, y definido como suma de los intervalos, cuando el origen de uno coincide con el extrema del otro, el intervalo cuyos origen y extremo son los no coincidentes, se puede considerar la integral de una función fija f (x), como una función de los intervalos. Si

[a, b] + [b, c] = [a, c],

se tiene:

f cf(x) dx= f bf(x) dx+ f cf(x) dx aab

Esta propiedad adquiere su máxima significación cuando se define

fab f(x) dx= f f(x) dx.

ba

Teorema del valor medio. Este teorema da una expresión del valor de la integral por medio de la longitud del intervalo y el valor de la función en un punto interme

696CALCULO IV V

dio, y se deduce de la desigualdad b

E(b,"f f f(x) dx?e(ba)

donde E y e son los extremos de la función en [a, b]. Si la función f (x) es continua en [a, b], de la desigualdadanterior se deduce la igualdad

f a b

f(x) dx=f(e) (ba)(a<e<b).

Si la función g(x) es monótona y continua en los extremos del intervalo [a, b], se denomina segundo teorema del valor medio la siguiente fórmula:

f be 6f(x) g(x) dx=g(a) f(x) dx+g(b) f f(x) dx, afa

donde a,<~b.

Teorema fundamental del cálculo integral. La definición introducida para la integral es totalmente ajena a los métodos del c. diferencial; sin embargo, la siguiente proposición permite considerar, en ciertos casos, la integración como la inversa de la derivación. Sea la integral de la función f(x) extendida al intervalo (a, X). Al variar X la integral será una función de este límite superior:

x

F(X)=f(x) dx. a

Si f(x) es una función continua en x=X, la función F(X) tiene derivada, y es

F(X)=f(X)1

es decir, F(X) es una función primitiva de f(X); en consecuencia, para calcular la integral de una función continua f (x), basta hallar una primitiva F(x) y se tiene:

b

f f(x) dx=F(b)F(a)(Regla de Barrow) a

Funciones primitivas. Una fórmula que dé la derivada de una función, leída inversamente, da la de una primitiva. Las primitivas, por la relación que las liga con las integrales, también se denominan integrales indefinidas, y se designan con el símbolo de la integral, pero sin límites. La siguiente tabla de integrales indefinidas se deduce de la correspondiente de derivadas (v. I).

xa+1_dx

f xa dxa+1(a A1),f ’ =1og ixI,f ex dx=ex,

f sen x dx=cos x,f cos x dx=sen x,

f sh x dx=coste x,f coste x dx=sh x,

f dxf dx

=tg xcot x,

COS2 xsen2 x f dx tgh

_fdx_ cOth

cosh2 xx,sh2 xx,

f dxf dx

=are sen x,=arg sh x,

N/1x24/1+x2

dx

f=arg coste Ix1, a/x21

f dx

=log Ix+.VIx2+cI,

1/xz+ c

dxdx _

f1 +x2 arc tg x,1x2 =arg tgh x. f

A todos los segundos miembros se les puede sumar una constante arbitraria.

Los métodos elementales de integración permiten reducir el cálculo de una primitiva a una o varias de las anteriores que ya son conocidas. Los más corrientes son los de sustitución o cambio de variables y el de integración por partes, que vienen indicados por las siguientes fórmulas:

J, f(x) dx=f f(x(t))x’(t) dt,

f f(x) dg(x)=f(x) g(x) f g(x) df(x).

Áreas y longitudes. Considerada la representación cartesiana de la función y= f (x), el área de la región plana entre el eje x, la curva y las rectas de abscisas x=a y x=b, y la longitud del arco de curva correspondiente, vienen dados por las integrales

bb

A= f f(x) dx,L= f 1/1+f2(x)dx.

aa

Si la curva está dada en coordenadas polares por la función p=f(w) el área del sector y la longitud del arco son: ’zL= .2

A=¡ ff2(w) dw,f/f2(w)+f2(w) dw

.1.1

E. LINÉS ESCARDÓ.

BIBL.:V. la de I y también:E. GOURSAT, Cours d’Analyse Mathématique, 5 ed. París 194243; H. MANGOLDT y K. KNopr, Einführung in die Nrihere Mathematik, Stuttgart 1947; E. T. WHITTAKER, y G. N. WATSON, Modern Analysis, 4 ed. Cambridge 1940; W. BROBNER y N. HOFREITER, Tablas de integrales, en Integraltafel, Viena e Innsbruck 1950.