Cálculo II

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Matemáticas

CÁLCULO INFINITESIMAL. Parte del Análisis matemático que inicialmente se ocupa del c. con infinitésimos, y que después con mayor rigor matemático se ha convertido en los c. diferencial e integral (v. i y Iv). Dos son los problemas que motivaron esencialmente el c. con los infinitamente pequeños; son los llamados problema de la tangente y problema del área, si se consideran en su aspecto geométrico, que equivalen al problema de la velocidad y al problema del espacio en el aspecto cinemático (Leibniz, Pascal, ..., por una parte, Newton, Barrow, ..., por otra). En lenguaje infinitesimal, el problema de la tangente equivale a la comparación por cociente de dos infinitamente pequeños; y el del área a la suma de infinitamente pequeños cuyo número es infinitamente grande. El concepto de límite ha permitido enunciar en forma rigurosa estos dos problemas.

Problema de la tangente. Sea C una curva, gráfica cartesiana de una función real de variable real y=f(x), definida en un intervalo [a, b]. Para definir la tangente a C en un punto P de coordenadas (xo, f(xo)), se considera un punto Q sobre la curva próximo al P, cuyas coordenadas son (xo+h, f(xo+hp. La pendiente de la secante PQ, es decir, la tangente trigonométrica del ángulo que forma PQ con el eje de las x, es

f(xo+h)f(xo) h

El límite del cociente anterior (cuando existe) al tender h a 0, es, por definición, la pendiente de la tangente a C en P. Tal límite se denomina derivada de J (x) en xo.

Problema del área. En las mismas condiciones del problema anterior, se trata de determinar el área de la región rayada, limitada por la curva C. Se divide el intervalo [a, b] en n partes y se supone que el área buscada está comprendida entre las sumas de las áreas de los rectángulos interiores y la de los exteriores. Si cuando n tiende a infinito las dos sumas tienden al mismo límite, éste es por definición el área buscada, que se denomina integral de f (x) entre a y b. El área aparece, pues, como un límite de la forma

n f(xr)

i=1

donde

1

E. LINÉS ESCARDÓ.

xi=a+n BIBL.: V. la de I y IV.