Cálculo I

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Matemáticas

CÁLCULO DIFERENCIAL. Es la parte del Análisis matemático que se refiere a la obtención y manejo de las derivadas y diferenciales.. El c. d. se ocupa principalmente del estudio local de las funciones (v.), es decir, del comportamiento de la función que se estudia en el entorno de un punto. En esencia, el método consiste en aproximar la función mediante su sustitución por otra más simple de propiedades conocidas. Su instrumento es el c. con las derivadas y las diferenciales.

1. La derivada. Si y=f(x) es una función definida en un intervalo que contiene el punto xo, la derivada en xo está definida por el límite (v. ni) lím f(xa+h)f(xo) hao h que se indica, cuando existe, por f’(xo). La interpretación geométrica de la derivada es el coeficiente angular de la tangente a la curva que es gráfica cartesiana de la función dada. Por tanto, la ecuación de la tangente a la curva y=f(x), en el punto de abscisa x=xo, será yf(xo)=f(x0) (xX0) La condición de ser una función derivable en xo implica la continuidad de la función en xo, pues en virtud de la definición de la derivada, si h > 0 es líen f(x0+h)= f(x0). La proposición inversa no es cierta; p. ej., la función y=x sen 1/x es continua en x=0 y no posee derivada en tal punto.

El concepto de derivada se puede generalizar, considerando valores de h sólo positivos o sólo negativos, obteniéndose la derivada por la derecha y por la izquierda. También cuando el límite que define la derivada es infinito se obtienen las derivadas impropias.

El conocimiento de la derivada en xo permite ya un primer estudio de la función f (x) en el entorno de este punto: Si

f’(X0) > 0

es

f(x) i1 f(xo)

según sea x il xo en un entorno de xo y se dice que la función es creciente en xo. Si

Axo) < 0

es

f (x) < f(xo)

según sea x xo en un entorno de xo y se dice que la función es decreciente en xo. Si

f(x) > f(X0)

para todo x9,’xo de un entorno de xo, la función tiene un mínimo en xo; y si

f(x) < f(X0)

para todo x 0 xo de un entorno de xo, la función tiene un máximo en xo: En estos máximos o mínimos relativos, es

f’(xo)=0 >

luego condición necesaria para que f (x) tenga un máximo o mínimo relativo en xo es que

f(X0)=0.

Reglas de derivación. Si Í y g son dos funciones derivables en xo, también lo son la suma, diferencia, producto y cociente (si g(x0) 0 0) y se tiene:

(f+g)’=f+g’(fg),=fg"(f g)’=f g+f g’, ( f ),=gf’+f g, .

g g2 Si c es una constante, es

(c f(x))’=c f(x).

La derivada de un producto de n factores es igual a la suma de los productos obtenidos sustituyendo, en el producto dado, sucesivamente cada función por su derivada, dejando invariantes las otras funciones.

Si

y=f(u) y u=g(x)

son derivables, también lo es la función compuesta y=F(x)=f((x))

y se tiene (regla de la cadena) F’(x)=f(g(x)) g’(x).

Si y= f (x) es derivable en un intervalo y monótona en sentido estricto (si x1 < x2 es f (xi) < f (x2) para todo par de valores xi, x2 del intervalo, es f estrictamente crecien

te), existe la función inversa x=g(y) que es derivable, y se tiene:

g’(y)=1ff(g(y)).

Tabla de las derivadas de algunas funciones elementales.

1 (xa)’=axa1,(ex),=e",(log x)’=, x (sen x)’=cos x,(cos x)’=sen x, (tg xf=1,

cose x(cot x)’=1, sen2 x

(arc sen x)’=1(para el valor principal

.Y/1x2del arco seno) 1

(arc tg

x)’= 1+X2

(sh x)’=cosh x,(cosh x)’=sh x,

11

(tgh x)’= cosh2 x ’(coth x)’= sh2 x

11

(arg sh x)’=(arg cosh x)’=±

/x2+1.Jx21

según arg cosh x < 0, 11

(arg tgh x)’=, ,(arg coth x)’= 1x2

La derivada del logaritmo neperiano de una función se denomina derivada logarítmica de la función, y se emplea para calcular las derivadas de productos, cocientes y potencias de manera simplificada.

La derivada logarítmica de J (x) es (log f(x))’=f(x)ff(x).

Derivadas de orden superior. Si una función f (x) es derivable en todos los puntos de un intervalo, la derivada es otra función definida en el intervalo que se designa por Í’(x). A su vez, si la derivada es una función derivable, se obtiene la segunda derivada, que se designa por f"(x). Así sucesivamente se obtienen las derivadas tercera, cuarta, ..., nésima, que se designan por

f?,(x), fIv(x), ..., fcn)(x).

Con la notación de Leibniz, las derivadas sucesivas tam bién se indican con los símbolos diferenciales: f’(x)=y’=~ ,f’(x)=y"=2 , ..., f(n)(x)=y(n)= dz Ejemplos de derivadas sucesivas de algunas funcione elementales son los siguientes:

y=(xa)a,y(n)=nl (n)(xa)an;

y=sen (x+a),Y(n) =sen ( x+a+n 2;

y=cos (x+a),y(n)=cosx+a+n 2; y=ex, y(n)=ex;

y=bx,y(n) =(log b)nbx;

al,

y=1og (ax+b),y()=(1)n1(n1)!

(ax+b)n

La derivada nésima de un producto de dos funciones viene dada por la regla de Leibniz:

(fg)(n)=fg(n)+ i fig(n1)+...+ k f(k)g(nk)+_+f(n)g. ( )( )

Se ha de hacer notar que la derivada segunda de la función inversa de y= f(x), no se obtiene como valor recíproco de f"(x), como se podría pensar por analogía con la derivada primera, sino que su valor es:

d2x_ __d2y_dy a.

dy2dx2 Idx)

Fórmulas de valor medio. En ellas se expresa la variación de una función en un intervalo fijo, o algún tipo de promedio de la misma en el intervalo. En estas fórmulas aparece el valor de una derivada de la función en un punto comprendido entre los extremos del intervalo, lo que da lugar a su denominación.

Si f (x) y g(x) son derivables en el intervalo (a, b) y continuas en los extremos del mismo, y además g’(x) 0 0 para todo x del intervalo, existe al menos un e en el interior del intervalo, tal que

f (b)f (a) __ r(e)(Fórmula de Cauchy). g(b)g(a) g’(J)

Si g(x)=x, se transforma en la fórmula del incremento finito:

f(b)f(a) =fY0 ba

Si f(a)=f(b) resulta el teorema de Rolle: Si f(x) es derivable en el intervalo (a, b), continua en los extremos del mismo, y además f(a)=f(b), existe al menos un e en el interior del intervalo en el que f’(e)=0; en la imagen geométrica, la tangente es paralela al eje OX. Este teorema es el básico entre los de valor medio del c. d., y para su demostración se hace uso de la propiedad de que una función continua en un intervalo cerrado admite en él un máximo y un mínimo. Por las condiciones de la hipótesis, el máximo o el mínimo lo toma en un punto interior e, en el cual la derivada será nula.

De la fórmula de Cauchy se deduce la regla de l’Hópital, para el cálculo de los límites indeterminados. Si Í(x) y g(x) son derivables en un entorno de xo (salvo, quizá en xo), y es f(xo)=0 y g(xo)=0, si existe

lím f’(x) x xa g’(x) también existe

lím f(x) x>x. g(x) y es igual al límite anterior.

Fórmula de Taylor (v. TAYLOR, TEOREMA DE). Sea f(x) una función continua con derivadas continuas hasta la de orden n+1 inclusive, en un intervalo abierto. La fórmula de Taylor se puede considerar como una generalización de las de valor medio entre dos puntos x y xo interiores del intervalo. Escribiendo x=xo+h, la fórmula es:

2n f(xo+h)=f(xo)+i f(xo)+21 f’(xo)+...+ñ1f(n)(xo)+Rn, donde Rn es el término complementario o resto. Se pueden dar distintas expresiones analíticas a Rn aunque su valor sea siempre el mismo. En ellas se presenta, o un valor intermedio, o bien un valor promedio expresado por una integral:

hn+1

Rn(n+1)1_f(n+1)(xo+0h)(0 < 0 < 1)(Lagrange) hn+1

Rn= nl (1e)nf(n+1)(xo+oh), (0 < 1),(Cauchzy) hn+1 1

Rn(1t)nf(n+1)xo+ht) dt

nl fo(forma integral del resto) Máximos y mínimos e inflexiones. La fórmula de Taylor es muy útil para establecer condiciones suficientes para la existencia de máximos y mínimos relativos. Supuesto que en xo es f’(xo)=0 (condición necesaria de máximo o mínimo), si

f"(xo)=0,f"(xo)=0, ..., f(k)(xo)=0, ..., hasta k=n1, y

f(n)(xo) 0 0,

xiste máximo o mínimo en xo si n es par. Si f(n)(xo) < 0,

es máximo, y si

f(n)(x0) > 0,

es mínimo.

Considerada la curva C, gráfica cartesiana de una función y= f (x), la fórmula de Taylor correspondiente a un xo, permite conocer la concavidad, convexidad o inflexión, del punto P de la curva C cuya abscisa es xo. Estos conceptos se refieren a la posición de la curva respecto de la tangente a la misma en P, en un entorno de este punto. En P hay concavidad en el sentido positivo del eje OY, si para los valores x de un entorno de xo, la curva C está situada en el semiplano superior de los dos en que queda dividido el semiplano por la tangente. En P hay convexidad si la curva está situada en el plano inferior. En P hay inflexión, si para valores de x menores que xo la curva está situada a distinto lado de la tangente que para los valores de x ^mayores que xo, en un entorno de este punto. Como la posición de la curva C respecto de la tangente viene dada por el signo de la diferencia

h

f(xo+h)f(xo)11 f(xo), de la consideración de la fórmula de Taylor resulta: si f’(x0)=0,f"(xo)=0, ..., f(k)(xo)=0, ...,

hasta k=n1, y

f(n)(xo) 0 0,

existe concavidad o convexidad en xo, si n es par. Si f(n)(xo) < 0

hay convexidad; si

fN(xo) > 0

hay concavidad. En el caso de ser n impar hay inflexión. 2. Concepto de diferencial. La noción de derivada, así como las reglas operativás, de la manera expuesta, coinciden en líneas generales con la teoría desarrollada por los matemáticos del s. XVII. El concepto de diferencial, que iniciaknente se define como producto de la derivada por el incremento arbitrario de la variable independiente, sólo adquiere un significado justo durante el presente siglo, al unirse al concepto de aproximación lineal.

Sea f una aplicación (v. ÁLGEBRA) de Rn en Rm; es decir, en f a cada npla

(xi, x2, ..., XJ le corresponde una mpla

(J1, Y2, ..., Y.)

La primera npla se indicará simplemente por x y la segunda por y, por lo cual la notación de la aplicación f será la acostumbrada y= f (x), pero x será un vector ndimensional, e y un vector mdimensional. La diferencial de f en un punto

(al, a2, ...., an) =a E Rn,

es una aplicación lineal a de Rn en Rm, que es tangente a la aplicación f en el punto a. La condición de tangencia viene expresada por

lím .[fa+h)f(a)X(h)~=0 amo Ihi Obsérvese que h es un vector de Rn y f(a+h)f(a)a(h)

es un vector de Rm, pero las normas, tanto del numerador como del denominador, son números reales.

A la aplicación lineal X (h) le corresponde, cuando se fijan unas bases en Rn y en Rm, una matriz (v.) de m filas y n columnas, que se denomina matriz jacoblana y que se puede indicar con la misma notación de la derivada, es decir, f’(a). Es evidente que no toda aplicación Í posee diferencial en un punto, pero se prueba fácilmente que cuando existe, es única. También conserva su validez la regla de la cadena para las aplicaciones compuestas: Si la aplicación f de R,, en Rm es diferenciable en x, y la aplicación g de Rm en RP es diferenciable en f (x), la aplicación compuesta

F(x)= f (g(x))

es diferenciable en x y se tiene

F’(x)=f (g(x))g’(x). ,

Derivadas parciales. Para la determinación efectiva de la diferencial es necesario introducir las derivadas parciales. Sea f una aplicación de Rn en R, que se podrá escribir en la forma

y=f(xl, x2+ ..., xn);

es decir, una función real de n variables reales. Las derivadas parciales se obtienen cuando se fijan todas los variables excepto una, y se calcula la derivada respecto a ésta. Así, la derivada parcial respecto a xi en el punto

a=(al, a2, ..., an)

es el límite, si existe:

límf(alr ..., ai+h, ..., an)Ra1, ..., an)

h>oh

que se puede designar indistintamente por una de las notaciones,

Dif(a), f’xi(a), f’i(a), af(a) axi

Para obtener una interpretación geométrica de las derivadas parciales, se ha de considerar la gráfica cartesiana, en un espacio de n+1 dimensiones, de la función Y=f(xl, x2, ..., xn),

que es una hipersuperficie. Si n=2, la gráfica de Y=f(x1, x2)

es una superficie S, en el espacio de tres dimensiones. Al hacer

xl=al, x2=a2

es

y=f(al, a2)

y esta terna son las coordenadas de un punto P de la superficie S. Si se considera solamente x1=a1 en la función f, se obtiene la curva C intersección de S con el plano x1=a1, y entonces la derivada parcial f’2(a) será la pendiente de la tangente en el punto P a la curva C. En general f’i(a) es la pendiente en el punto

(al, a2, .. ., an, f(a))

a la curva intersección de la hipersuperficie y=f(xl, x2, ..., xn)

con la variedad lineal

xj=ajpara j=1, 2, ..., n, excepto j=i. Expresión de la diferencial. Introducidas las derivadas parciales, se puede dar forma explícita a la diferencial, en x=a, de la aplicación y= f (x) de Rn en Rm. Como x es un vector de n componentes y también y es un vector de m componentes, la aplicación anterior se puede escribir como un sistema de m funciones de n variables, en correspondencia con las respectivas componentes:

Yl =f1 (x1, x2, ..., xn) Y.= f. (X1, x2, ..., x?).

La diferencial en x=a, es una aplicación l=x (h) de Rn en Rm, es decir, de estructura semejante a la anterior, pero lineal, por lo que en forma desarrollada será:

11 =a11 h1+al2 h2+... +a1? hn tm=amlhl+am2h2+... +a.nhn, y precisamente, los coeficientes ai! son las derivadas parciales:

aq=Djfi(a).

En consecuencia, la matriz jacobiana en x=a, será: Difl (a), ..., Dnfl (a)

D1fm(a), .. .,.D?fm(a)

Aunque la notación de la diferencial es cuestión secundaria, por su frecuente uso es conveniente recordar la de Leibniz. En la aplicación lineal 1=1 (h), al vector h de Rn se le suele designar por dx (diferencial de x), y al vector 1 de R por dy (diferencial de y). Si se quieren indicar las componentes de uno y otro, se designan por npla

(dx1, dx2, ..., dxn)

y por la mpla

(dyl, dY2, ..., dy,n),

respectivamente. Con esta notación, la diferencial en x=a de una aplicación Í de Rn en R, o sea, una función real de n variables reales, es:

dy=Dif(a) dx11...+Dif(a) dxn,

o también

&f(a) af(a) dy= dx1+...+ dxn. ax1 axn

Según lo expuesto, la interpretación que hoy se debe dar a los símbolos

dx1, dx2, ...,YdYl, dY2, ...,

es la de componentes de un vector h de Rn y de un vector 1 de Rm, respectivamente.

De la definición resulta, que si una aplicación es diferenciable en x=a,, es continua en tal punto. El recíproco no es cierto en general. Una condición suficiente para que f(x) sea diferenciable en x=a es que todas las derivadas parciales existan en un entorno de a y sean continuas en este punto.

Derivadas parciales de orden superior. Si f(x1, x2, ..., xn)

admite la derivada parcial respecto de xi en todos los puntos de un intervalo de Rn, tal derivada es una nueva función que se designa por

Dif(xl, ..., xn).

Si esta función admite derivada respecto de xi, se obtiene una derivada parcial segunda. Se tiene, pues,

a(9f (x)_ a2f(x)

Dj(Dif(x))=Djif(x) o

axj axi axjaxi

Según esto, el número de derivadas segundas es n2; sin embargo, no todas son distintas en general. Una condición que permite asegurar la igualdad de las derivadas cruzadas es la enunciada por Schwarz: si en un entorno de x=a, existen las derivadas

Dif(x), Dif(x) Y Diíf(x),

y esta última es continua en el punto x=a, en este punto existe la derivada Dí; f (a) y coincide con D¡; f (a).

A partir de las derivadas segundas, en condiciones análogas a las expuestas, se obtienen las derivadas terceras, cuartas, etc. También se pueden definir las diferenciales de orden superior.

Fórmula de Taylor para funciones de varias variables. Siendo

f(XI, x2, ..., x?)

una función continua, con derivadas parciales continuas hasta las de orden m+1 inclusive, en un intervalo abierto, la fórmula de Taylor se puede escribir en la siguiente forma:

f(al+hl, ..., a,,+hn)=f(al, ..., an)+

+11 (Dif(a)hl+...+Dnf(a)hn)+...

+ 1 (Dlf(a)hl+...+Dnf(a)h?)(m)+ ml

1 (Dlf(aIBh)hl+...+Dnf(a+Bh)hn)(rn+l) (m+1)l

El símbolo

(Dlf(a)hl+... +Dnf(a)hn)(m),

indica que la expresión del paréntesis se ha de desarrollar como una potencia, y después se sustituirán los exponentes por índices de derivación.

E. LINÉS ESCARDÓ.

BIBL.: Obras básicas españolas: J. REY PASTOR, Curso de Cálculo infinitesimal, Buenos Aires 1947; S. Ríos, Cálculo infinitesimal, Madrid 1966; P. ABELLANAS, Matemáticas para físicos e ingenieros, Madrid 1964.De estilo clásico: G. VALIRON, Analyse mathématique, París 1951; G. H. HARDY, Curso de Análisis matemático, Buenos Aires 1962; A. OsTRowsxl, Vorlesungen über Differentialund Integralrechnung, Basilea 196468~De estilo y contenido más moderno son: S. LANG, Analysis, Reading (Mass.) 1968; J. DIEUDONNÉ, Calcul infinitésimal, París 1968; H. CARTAN, Calcul différentiel, París 1967.