G??del, Kurt

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Biografía GER

Importante matemático y lógico, n. en Brno (Checoslovaquia) el 28 abr. 1906; se doctoró en Matemáticas en la Univ. de Viena, donde también fue profesor en 1933-38. Con la II Guerra mundial emigró definitivamente a EE. UU. y se nacionalizó allí. Muere el 14 feb. 1978 en Princeton (EE. UU.) donde residía desde 1940, siendo profesor de su Universidad.

Destaca especialmente G. en "la teoría de las teorías"; es decir, en el estudio del modo de razonar matemático. Su resultado más importante, y una cumbre de la Lógica, fue la demostración de la imposibilidad de probar la no contradicción de la Aritmética por métodos aritméticos. Hay que tener en cuenta que el formalismo de la Matemática (v.) opera con "entes de razón" mediante un conjunto de "reglas sintácticas". Así, una teoría matemática sería verdadera mientras no contenga contradicciones, esto es, que no se pueda demostrar dentro de ella un teorema y su negación. G. demostró que dado un sistema formal pueden existir verdades evidentes en un sistema fuera del dado y que, en cambio, pueden no ser demostrables en el dado, es decir, empleando la axiomática de éste.

Este teorema, probado por G. en 1931, fue un duro golpe para las teorías de Hilbert (v.), que reducían la no contradicción de la Matemática a la no contradicción de la Aritmética; al demostrar G. que esta última no podía ser probada echó por tierra la parte lógica de la obra de Hilbert. La demostración de G. se basa en la numerabilidad (posibilidad de poner en correspondencia biunívoca con los números naturales) de las proposiciones de la Aritmética.

Su mayor notoriedad se debe a estos teoremas sobre la no demostrabilidad de los fundamentos de la Matemática dentro de la Matemática, que supusieron un cambio muy importante en la investigación lógica y matemática, con repercusión en la filosofía y teoría de las ciencias.

Tienen también gran interés los trabajos de G. en la fundación de la teoría de conjuntos (v.). Se le debe una axiomática, perfeccionamiento de la de von Neumann, de la teoría de conjuntos y una axiomática de la teoría de clases, que tiene una importancia excepcional por su aplicación a la teoría de categorías (v.).

Es notable el estudio de G. sobre la hipótesis del continuo. Dos conjuntos se dice que tienen la misma potencia cuando hay entre ellos una correspondencia biunívoca; todo conjunto de igual potencia que el de los números naturales recibe el nombre de conjunto numerable y de todo conjunto de igual potencia que el de los números reales se dice que posee la potencia del continuo. Cantor (v.) afirmaba, sin demostrarlo, que todo conjunto infinito no numerable es de la potencia del continuo (hipótesis del continuo). Esta forma original se generalizó posteriormente y G. demostró que si es consistente la axiomática de Cantor, la axiomática que se obtiene al añadirle la hipótesis del continuo generalizada y el axioma de elección, también es consistente, es decir, que la hipótesis del continuo y el axioma de elección no se contradicen con la axiomática de la teoría de conjuntos de Cantor.

V. t.: ARITMÉTICA; LÓGICA MATEMÁTICA.

J. L. VICENTE CÓRDOBA.

BIBL.: E. T. BELL, Historia de las Matemáticas, México 1949; E. AGAZZI, Introduzione al problemi dell’assiomatica, Milán 1961; J. V. HEDENOORT, From Frege to Gddel (1967): A source book in mathematical logic, Cambridge (Mass.) 1967; E. DIAz ESTÉVEZ, El teorema de Gbdel, Pamplona 1975; 1. M. BOCHENSKI, Historia de la lógica formal, 2 ed. Madrid 1985. Se ha publicado un vol. de Obras completas de Goedel, Madrid 1981; y también en español Sobre proposiciones... de los Principia Mathematica..., Valencia 1981.